📐 Math Mantra Nepal (MMN)
3D Visualizer Lab: Algebraic Expansion of (a+b)³ & (a-b)³
⚙️ Change Values / मान परिवर्तन:
📘 Geometric Understanding of $(a+b)^3$ and $(a-b)^3$
बीजगणितमा $(a+b)^3$ र $(a-b)^3$ केवल याद गर्ने सूत्रहरू मात्र होइनन्। यिनीहरूले ३D अन्तरिक्षमा तीनवटा आयामहरू (Length, Width, Height) भएको एउटा घन (Cube) को पूर्ण आयतनलाई जनाउँछन्।
१. Perfect Cube Expansion for Addition:
$$\mathbf{(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}$$
२. Perfect Cube Expansion for Subtraction:
$$\mathbf{(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3}$$
*माथि दिइएको ३D मोडलमा तपाईंले **Explode Slider** प्रयोग गरेर यी ८ वटा छुट्टाछुट्टै टुक्राहरू (१ ठूलो घन, ३ षडमुखाहरू, ३ अर्को आकारका षडमुखाहरू र १ सानो घन) कसरी जोडिएर सिङ्गो घन बन्छ भनेर हेर्न सक्नुहुन्छ।
✍️ Worked-Out Step-by-Step Examples
गणितीय सूत्र प्रयोग गरी समस्या हल गर्ने विस्तृत तरिका:
Expand: $(x + 1)^3$
Formula: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Here, $a = x$ and $b = 1$
= $(x)^3 + 3(x)^2(1) + 3(x)(1)^2 + (1)^3$
= $x^3 + 3x^2(1) + 3x(1) + 1$
= $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
Expand: $(x - 1)^3$
Formula: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Here, $a = x$ and $b = 1$
= $(x)^3 - 3(x)^2(1) + 3(x)(1)^2 - (1)^3$
= $x^3 - 3x^2(1) + 3x(1) - 1$
= $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
Expand: $(2x + 3y)^3$
Formula: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Here, $a = 2x$ and $b = 3y$
= $(2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3$
= $8x^3 + 3(4x^2)(3y) + 3(2x)(9y^2) + 27y^3$
= $8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$
= $8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$
Expand: $(2x - 3y)^3$
Formula: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Here, $a = 2x$ and $b = 3y$
= $(2x)^3 - 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 - (3y)^3$
= $8x^3 - 3(4x^2)(3y) + 3(2x)(9y^2) - 27y^3$
= $8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$
= $8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$
❓ Frequently Asked Questions (FAQ)
विद्यार्थीहरूले बारम्बार गर्ने गल्तीहरू र समाधान:
❌ के $(a+b)^3$ बराबर $a^3 + b^3$ लेख्न मिल्छ? (Why $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$?)
मिल्दैन! यो पूर्णतया गलत हो।
$(a+b)^3$ भनेको $(a+b) \times (a+b) \times (a+b)$ हो। यसलाई विस्तार गर्दा बीचमा $3a^2b$ र $3ab^2$ गरी थप दुईवटा आयाम (Terms) आउँछन्।
उदाहरणका लागि: यदि $a=2$ र $b=3$ मान्ने हो भने:
RHS = $2^3 + 3^3 = 8 + 27 = \mathbf{35}$
यहाँ $125 \neq 35$, त्यसैले $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$।
❌ के $(a-b)^3$ बराबर $a^3 - b^3$ लेख्न मिल्छ? (Why $(a-b)^3 \neq a^3 - b^3$?)
मिल्दैन! $(a-b)^3$ र $a^3 - b^3$ दुई फरक सूत्रहरू हुन्। $(a-b)^3$ को वास्तविक विस्तार $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ हुन्छ। उदाहरणका लागि: यदि $a=5$ र $b=2$ मान्ने हो भने:
RHS = $5^3 - 2^3 = 125 - 8 = \mathbf{117}$
यहाँ $27 \neq 117$, त्यसैले $(a-b)^3 \neq a^3 - b^3$।
💡 $a^3 + b^3$ र $a^3 - b^3$ को वास्तविक सूत्र के हो?
यिनीहरूलाई **Sum and Difference of Cubes (गुणनखण्ड सूत्र)** भनिन्छ:
• $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
🎯 $(a-b)^3$ मा कुन-कुन चिन्ह (+ / -) कसरी याद राख्ने?
$(a-b)^3$ विस्तार गर्दा चिन्हहरू पालैपालो परिवर्तन हुन्छन्: **Plus, Minus, Plus, Minus**।
तपाईंले $+ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ को रूपमा सजिलै सम्झिन सक्नुहुन्छ।